Мубариз Эльязов родился в 1967 году в районе Варденис Западного Азербайджана (нынешная Республика Армения). В 1984 году поступил в ПТУ № 84 города Москвы. 1988-1993 учился в Московском Государственном Университете имени Ломоносова на юридическом  факультете.

После окончания университета работал в Министерстве Юстиции Азербайджанской Республики и в Читинском Областном Управлении Юстиции в должности ведущего специалиста. В 1995-1999 годы работал в Читинской Областной Прокуратуре в должностях помощника прокурора и следователя. С 1999 года работал юристом в Комитете по защите журналистов «Рух». Также Мубариз Эльязов вел семинары по учебной программе «Журналистика и Право» на юридическом факультете в Университете Азия.  

В 2003 году Указом Президента Азербайджанской Республики был назначен членом Совета по Телевидению и Радио Азербайджанской Республики. В 2005, 2011 и 2017 годах Указом Президента Азербайджанской Республики был повторно назначен членом Совета по Телевидению и Радио Азербайджанской Республики сроком на 6 лет.

Женат, имеет двоих детей.

Рабочий телефон:  (+99412) 493-53-17